Как найти к в электростатике
Перейти к содержимому

Как найти к в электростатике

  • автор:

Как найти к в электростатике

Расстояние между двумя точечными зарядами q1=1 мКл и q2=-1 мКл равно 5,00 см. Определить силу, действующую на точечный заряд q=0,100 мкКл, удаленный на расстояние 3,00 см от первого заряда и 4,00 см от второго. Электрическая постоянная &#9490=8,854187827*10 -12 Ф/м. Заряды находятся в вакууме. (аналог В.9.13).

Сила, действующая на заряд q3, равна и направлена под углом .

Дано: СИ:
q1=1 мкКл 10 -6 Кл
q2=-1 мкКл -10 -6 Кл
q3=0,1 мкКл 10 -7 Кл
a=3 см 3 &middot 10 -2 м
b=4 см 4 &middot 10 -2 м
c=5 см 5 &middot 10 -2 м
&#9490=8,854187827 &middot 10 -12 Ф/м
Найти:
F3-?

c 2 =a 2 +b 2 следовательно, треугольник прямоугольный. Сила, действующая на заряд , по принципу суперпозиции

Сила — величина векторная, поэтому еще укажем направление этого вектора, который зададим углом

Закон Кулона

З-н Кулона — основной закон электростатики, позволяющий рассчитать силу взаимодействия между двумя точечными неподвижными зарядами в вакууме.Открыт в 1785 г. французским физиком Шарлем Огюстеном Кулоном (раньше и более точно закономерности установлены Г. Кавендишем, но не опубликованы).

Опыт Кулона.

Металлические шарики заряжаются и взаимодействуют. Заряд измеряется в относительных единицах. Нить закручивается. Сила упругости нити уравновешивает электрическую силу. По углу закручивания нити определяют силу взаимодействия.

1.→ F ~ q1

2. → F ~ q2

3. → F ~

Вывод: Сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению модулей этих зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Сила центральна. Направлена по прямой, соединяющей заряды. Если знаки зарядов одинаковы, то направление силы и радиус-вектора совпадают, если знаки зарядов разные, то направление силы и радиус-вектора противоположны. Силы взаимодействия между зарядами равны по величине и противоположны по направлению по 3-ему з-ну Ньютона.

сила взаимодействия между двумя ионами в кристалле поваренной соли F=2 . 10 -9 Н.

Коэффициент k зависит от выбора системы единиц.

Коэффициент k численно равен силе взаимодействия между двумя точечными неподвижными зарядами по единице заряда каждый, находящимися в вакууме на расстоянии, равном единице длины друг от друга.

В СИ удобно представить , где e0=8,85.10 -12 Кл 2 /(Н . м 2 ) — электрическая постоянная вакуума.

Диэлектрическая проницаемость среды ( e ).

Характеризует электрические свойства среды. Для любой среды e >1. Зависит только от свойств среды.

Диэлектрическая проницаемость показывает во сколько раз сила взаимодействия двух точечных неподвижных зарядов в вакууме больше их сил взаимодействия в среде.

Полная форма записи закона Кулона.

Если заряды не точечные или их больше двух, то силы складываются по правилу сложения векторов:

Основные формулы электростатики

Электростатика – обширный раздел электродинамики, исследующий и описывающий покоящиеся в определенной системе электрически заряженные тела.

На практике выделяют два вида электростатических зарядов: положительные (стекло о шелк) и отрицательные (эбонит о шерсть). Элементарный заряд является минимальным зарядом ($e = 1,6 ∙10^< -19>$ Кл). Заряд любого физического тела кратен целому количеству элементарных зарядов: $q = Ne$.

Электризация материальных тел – перераспределение заряда между телами. Способы электризации: касание, трение и влияние.

Закон сохранения электрического положительного заряда – в замкнутой концепции алгебраическая сумма зарядов всех элементарных частиц остается стабильной и неизменной. $q_1 + q _2 + q _3 + …..+ q_n = const$. Пробный заряд в данном случае представляет собой точечный положительный заряд.

Статья: Основные формулы электростатики

Поможем написать реферат за 48 часов

Закон Кулона

Указанный закон был установлен экспериментальным путем в 1785 году. Согласно этой теории, сила взаимодействия двух покоящихся точечных зарядов в среде всегда прямо пропорциональна произведению положительных модулей и обратно пропорционально квадрату общего расстояния между ними.

Электрическое поле представляет собой уникальный вид материи, который осуществляет взаимодействие между стабильными электрическими зарядами, формируется вокруг зарядов, воздействует только на заряды.

Рисунок 1. Закон Кулона. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Такой процесс точечных неподвижных элементов полностью подчиняются третьему закону Ньютона, и считается результатом отталкивания друг от друга частиц при одинаковых силовых притяжениях друг к другу. Взаимосвязь стабильных электрических зарядов в электростатике называют кулоновским взаимодействием.

«Основные формулы электростатики» ��
Помощь эксперта по теме работы
Решение задач по учебе за 24 часа
Реферат по этой теме за 48 часов

Закон Кулона вполне справедлив и точен для заряженных материальных тел, равномерно заряженных шаров и сфер. В этом случае за расстояния в основном берут параметры центров пространств. На практике данный закон хорошо и быстро выполняется, если величины заряженных тел гораздо меньше расстояния между ними.

Замечание 1

В электрическом поле также действуют проводники и диэлектрики.

Первые представляют содержащие свободные носители электромагнитного заряда вещества. Внутри проводника может возникнуть свободное движение электронов. К этим элементам относятся растворы, металлы и различные расплавы электролитов, идеальные газы и плазма.

Диэлектрики являются веществами, в которых не может быть свободных носителей электрического заряда. Свободное движение электронов внутри самих диэлектриков невозможно, так как по ним не протекает электрический ток. Именно эти физические частицы обладают не равной диэлектрической единице проницаемостью.

Силовые линии и электростатика

Силовые линии начальной напряженности электрического поля являются непрерывными линиями, касательные точки к которым в каждой среде, через которые они проходят, полностью совпадают с осью напряженности.

Основные характеристики силовых линий:

  • не пересекаются;
  • не замкнуты;
  • стабильны;
  • конечное направление совпадает с направлением вектора;
  • начало на $+ q$ или в бесконечности, конец на $– q$;
  • формируются вблизи зарядов (где больше напряжённость);
  • перпендикулярны поверхности основного проводника.

Определение 2

Разность электрических потенциалов или напряжение (Ф или $U$) — это величина потенциалов в начальной и конечной точках траектории положительного заряда. Чем меньше изменяется потенциал на отрезке пути, тем меньше в итоге напряженность поля.

Напряженность электрического поля всегда направлена в сторону уменьшения начального потенциала.

Рисунок 2. Потенциальная энергия системы электрических зарядов. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Электроемкость характеризует способность любого проводника накапливать необходимый электрический заряд на собственной поверхности.

Данный параметр не зависит от электрического заряда, однако на него могут воздействовать геометрические размеры проводников, их формы, расположение и свойств среды между элементами.

Конденсатор является универсальным электротехническим устройством, которое помогает быстро накопить электрический заряд для отдачи его в цепь.

Электрическое поле и его напряженность

Рисунок 3. Электрическое поле. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

По современным представлениям ученых, электрические стабильные заряды не влияют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное физическое тело в электростатике создает в окружающей среде электрическое поле. Этот процесс оказывает силовое воздействие на другие заряженные вещества. Главное свойство электрического поля заключается в действии на точечные заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие положительно заряженных частиц осуществляется через поля, которые окружают заряженные элементы.

Это явление возможно исследовать посредством, так называемого, пробного заряда – небольшого по размеру электрического заряда, который не вносит существенное перераспределения изучаемого зарядов. Для количественного выявления поля вводится силовая особенность — напряженность электрического поля.

Напряженностью называют физический показатель, который равен отношению силы, с которой поле воздействует на пробный заряд, размещенный в данной точке поля, к величине самого заряда.

Напряженность электрического поля представляет собой векторную физическую величину. Направление вектора в этом случае совпадает в каждой материальной точке окружающего пространства с направлением действующей на положительный заряд силы. Электрическое поле не меняющихся со временем и неподвижных элементов считается электростатическим.

Для понимания электрического поля применяют силовые линии, которые проводятся таким образом, чтобы направление главной оси напряженности в каждой системе совпадало с направлением касательной к точке.

Разность потенциалов в электростатике

Электростатическое поле включает одно важное свойство: работа сил всех движущихся частиц при перемещении точечного заряда из одной точки поля в другую не зависит от направления траектории, а определяется исключительно положением начальной и конечной линий и параметром заряда.

Результатом независимости работы от формы движения зарядов является следующее утверждение: функционал сил электростатического поля при преобразовании заряда по любой замкнутой траектории всегда равен нулю.

Рисунок 4. Потенциальность электростатического поля. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Свойство потенциальности электростатического поля помогает ввести понятие потенциальной и внутренней энергии заряда. А физический параметр, равный соотношению потенциальной энергии в поле к величине этого заряда, называют постоянным потенциалом электрического поля.

Во многих сложных задачах электростатики при определении потенциалов за опорную материальную точку, где величина потенциальной энергии и самого потенциала обращаются в ноль, удобно использовать бесконечно удаленную точку. В этом случае значимость потенциала определяется так: потенциал электрического поля в любой точке пространства равен работе, которую выполняют внутренние силы при удалении положительного единичного заряда из данной системы в бесконечность.

Выводы всех формул по электростатике

Электростатика является разделом учения об электричестве, задачей которого является исследование неподвижных электрических зарядов.

С давних времен известно, что определенные материалы – такие, как янтарь, – могут притягивать легкие предметы (к примеру, пух, пыль, кусочки бумаги). Возникновение электростатических явлений, главным образом, обусловлено взаимодействием электрических зарядов друг с другом. Сила такого взаимодействия описана законом Кулона.

Несмотря на то, что электростатические силы кажутся слабыми, в некоторых случаях они превосходят силу гравитации. Например, протон и электрон в атоме водорода взаимодействуют с силой, которая на 36 порядков больше действующей между ними гравитационной силы.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Существует масса примеров электростатических явлений, включая простое притяжение воздушного шарика к шерстяному свитеру, притяжение бумаги и тонера в лазерных принтерах, спонтанное воспламенение зернохранилища как результат электризации зерна.

Основные понятия по теме в физике

Определение

Электрический заряд – физическая величина, характеризующая свойство тел вступать в электрическое взаимодействие.

Электрический заряд обозначают Q и выражают в Кулонах [Кл]. Заряды, обладающие одинаковым знаком, отталкиваются друг от друга, а разноименные заряды притягиваются.

Определение

Элементарный заряд – минимальная порция заряда, способная передаваться от одного тела к другому.

Примерами элементарных зарядов являются протон и электрон. Величина обозначается, как:

Определение

Электрическое поле – непрерывный в пространстве материальный объект, который формируется любым электрическим зарядом и проявляется в воздействии на другие заряды.

Определение

Проводник – материал, по которому заряд может свободно двигаться от одного тела к другому.

Определение

Диэлектрик – материал, по которому электрический заряд в обычных условиях не перемещается.

Определение

Закон сохранения электрического заряда: в условиях замкнутой системы алгебраическая (с учетом знаков +/−) общая сумма зарядов не меняется.

Формула закона сохранения электрического заряда:

Закон сохранения электрического заряда

Закон Кулона

Закон Кулона позволяет количественно описать процесс, при котором взаимодействуют заряженные тела. Это фундаментальный закон – утверждение было доказано экспериментальным путем, а не является следствием природных закономерностей.

Закон Кулона справедлив в том случае, когда точечные заряды неподвижны и находятся в вакууме. Понятие точечного заряда является условным, так как подобные частицы отсутствуют в действительности. Однако точечными можно считать такие заряды, размеры которых существенно меньше, чем расстояние между ними.

Сила, с которой взаимодействуют заряды в воздухе, практически не отличается от силы их взаимодействия в вакууме. В первом случае сила слабее менее, чем на одну тысячную. Электрический заряд является физической величиной и характеризует способность частиц и тел вступать в электромагнитные силовые взаимодействия.

Примечание

Первым закон взаимодействия зарядов, находящихся в состоянии покоя, открыл французский физик Ш. Кулон в 1785 году. Опытным путем ученый измерял взаимодействие между шариками с размерами намного меньше, чем расстояние между ними.

Определение

Закон Кулона: Сила, с которой взаимодействуют два неподвижных точечных электрических заряда в вакууме, прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, и является силой притяжения, если заряды разноименные, и силой отталкивания, если заряды одноименные.

Модули зарядов обозначают:

\(\left| q_1\right| \left| q_2 \right|\)

Таким образом, запись закона Кулона будет иметь следующий вид: \(F = k \cdot \dfrac<\left|q_1 \right| \cdot \left|q_2 \right|> \ \) Коэффициент пропорциональности определяется выбором системы единиц:

Полная формула закона Кулона:

\(q_1 q_2\) — определяют электрический заряд тела;

r — расстояние, на которое удалены заряды;

\(\varepsilon_0 = 8,85*10^ \) — электрическая постоянная;

\(\varepsilon\) — диэлектрическая проницаемость среды;

\(k = 9*10^9\) — коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Согласно третьему закона Ньютона:

Данные силы взаимодействия представляют собой силы отталкивания в том случае, когда заряды имеют одинаковые знаки, и являются силами притяжения при разных знаках зарядов. Для обозначения электрического заряда, как правило, используют буквы q или Q.

Исходя из совокупности данных, полученных экспериментальным путем, можно сделать следующие выводы:

  1. Электрические заряды бывают двух типов, которые условно называют отрицательными и положительными.
  2. Заряды обладают способностью передаваться (к примеру, в процессе непосредственного контакта) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемым параметром данного тела. Одно и то же тело при разных условиях может обладать неодинаковым зарядом.
  3. Заряды с одинаковым знаком отталкиваются, а с разными – притягиваются. Таким образом проявляется принципиальная разница между электромагнитными и гравитационными силами. Гравитацией всегда является сила притяжения.

Взаимодействие неподвижных электрических зарядов является электростатическим или кулоновским взаимодействием. Электростатика является отдельным разделом электродинамики, задача которого заключается в изучении кулоновского взаимодействия.

Закон Кулона применим в случае точечных заряженных тел. На практике закономерность выполняется в том случае, когда размеры заряженных тел много меньше, чем расстояние между ними. Условия выполнения закона Кулона:

  • точечность зарядов;
  • неподвижность зарядов;
  • взаимодействие зарядов в вакууме.

В международной системе СИ заряд измеряют в Кулонах (Кл).

Определение

Кулон – заряд, который проходит за 1 секунду через поперечное сечение проводника при силе тока 1 А.

Единица силы тока (Ампер) в СИ является наряду с единицами длины, времени и массы основной единицей измерения.

Электрический заряд и его свойства

Электрическим зарядом называют физическую величину, которая характеризует свойство частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Заряд обозначают, как q или Q, и измеряют в Кл. Свободный заряд в 1 Кл представляет собой гигантскую величину заряда, которую практически невозможно встретить в природе. Обычно, в процессе изучения, можно встретить заряды, исчисляемые в микрокулонах, нанокулонах, пикокулонах. Свойства электрического заряда:

  • электрический заряд является видом материи;
  • на электрический заряд не влияет движение частицы и ее скорость;
  • заряды обладают способностью перемещаться (например, в процессе непосредственного контакта) от одного тела к другому, не являются неотъемлемой характеристикой тела;
  • электрические заряды бывают отрицательными и положительными, что соответствует их условным типам;
  • заряды взаимодействуют друг с другом, при этом одноименные заряды притягиваются, а разноименные – отталкиваются;
  • силы взаимодействия зарядов представляют собой центральные силы, то есть лежат на одной прямой, которая соединяет центры этих зарядов;
  • минимально возможный по модулю заряд называют элементарным, \(e= 1,6*10^.\)

Электрический заряд для любого тела является кратной элементарному заряду величиной:

где N – является целым числом.

Можно отметить, что не существует заряда, который бы составлял, к примеру, 0,5е; 1,7е; 22,7е и так далее. Физические величины, принимающие лишь дискретный ряд значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом, то есть минимальной порцией электрического заряда.

Согласно закону сохранения электрического заряда, в замкнутой системе тел не могут появляться, либо исчезать заряды только с одним знаком. Формула закона сохранения электрического заряда:

Таким образом, когда тела обладают одинаковыми размерами и формами, содержат в себе заряды \(q_1\) и \(q_2\) , независимо от знака этих зарядов, при соприкосновении и обратном разведении каждое тело в итоге будет обладать следующим зарядом:

Современная наука полагает, что носителями зарядов являются элементарные частицы. Известно, что все тела состоят из атомов, которые включают в себя протоны с положительным зарядом, электроны с отрицательным зарядом и нейтральный частицы, называемые нейтронами. Из протонов и нейтронов состоят атомные ядра. Электронная оболочка атомов образована электронами.

Протон и электрон обладают одинаковыми по модулю электрическими зарядами, которые равны элементарному заряду е. Если атом нейтральный, то количество протонов в ядре соответствует числу электронов в оболочке. Данное число называют атомным номером.

Атом рассматриваемого вещества может лишиться одного или нескольких электронов либо приобрести лишний электрон. В этом случае нейтральный атом трансформируется в положительно или отрицательно заряженный ион.

Следует отметить, что ядро атома состоит из положительных протонов, в связи с этим их количество может увеличиться или уменьшиться только в процессе ядерной реакции. Известно, что электризация тел не сопровождается ядерными реакциями. Таким образом, при любых электрических явлениях количество протонов остается стабильным, может измениться лишь число электронов.

Можно сообщить телу отрицательный заряд, то есть передать ему лишние электроны. Сообщение телу положительного заряда подразумевает отнимание электронов, а не добавление протонов. Передача заряда от одного тела к другому осуществляется порциями, которые включают в себя целое число электронов.

В определенных случаях при решении задач можно встретить примеры распределения электрического заряда по какому-либо телу. Описать такое распределение можно с помощью специальных величин.

Линейная плотность заряда необходима, чтобы описать, каким образом заряд распределен по нити. Величина измеряется в Кл/м. Формула линейной плотности заряда:

где L – является длиной нити.

Поверхностная плотность заряда позволяет определить, как заряд распределен по поверхности тела. Величина измеряется в кулонах на квадратный метр. Формула поверхностной плотности заряда:

где S – площадь поверхности тела.

Объемную плотность заряда целесообразно применять для описания распределения заряда по объему тела. Величина измеряется в кулонах на м³. Формула объемной плотности заряда:

где V – это объем тела.

Формулы с пояснениями, вывод

В случае электрических зарядов действует принцип суперпозиции: результирующая сила, действующая на определенный заряд \(q_\) со стороны нескольких зарядов \(q_. q_,\) равна геометрической сумме, то есть векторной сумме сил \(F_+. F_\) , которые действуют на данный заряд со стороны каждого из зарядов:

Пояснение

Заряженные частицы взаимодействуют друг с другом с конечной скоростью с помощью электрического поля. Данное утверждение является теорией близкодействия электрических зарядов.

Определение

Напряженность электрического поля является векторной величиной и равна отношению силы F (векторная величина), с которой поле действует на точечный заряд q (скалярная величина), к этому заряду (с учетом знака заряда).

Формула расчета напряженности:

Исходя из закона Кулона, можно определить напряженность электрического поля единичного точечного заряда Q, то есть на расстоянии r от него:

Пояснение

Принцип суперпозиции электрических полей состоит в том, что при создании заряженными частицами в определенной точке пространства электрических полей с напряженностями \(E_, E_,…, E_\) , результирующая напряженность электрического поля в данной точке равна векторной сумме отдельных напряженностей:

Пояснение

Заряд q в однородном электрическом поле напряженности Е обладает потенциальной энергией:

где d является расстоянием до плоскости с нулевой потенциальной энергией.

Определение

Потенциал электростатического поля в точке является отношением потенциальной энергии заряда в поле, к этому заряду, учитывая знак заряда.

Формула для расчета потенциала электростатического поля:

Потенциалом электростатического поля также называют работу, которая выполняется в процессе перемещения единичного положительного заряда из рассматриваемой точки в бесконечность.

Напряжение соответствует разности потенциалов между точками и определяется, как отношение работы поля при перемещении заряда из начального положения в конечное, к данному заряду, учитывая знак заряда:

В числовом выражении, но не по размерности, данная величина представляет собой работу, которую выполняет поле, перемещая единичный положительный заряд из одной точки в другую.

Однородное поле характеризуется наличием связи между разностью потенциалов и напряженностью:

где U является разностью потенциалов между точками, которые связывает вектор перемещения \(\Delta d\) , совпадающий по направлению с вектором Е.

Электроемкостью пары проводников называют отношение заряда Q, который соответствует одному из проводников, к разности потенциалов U между этим проводником и соседним:

Определение

Конденсатор – система из пары проводников, называемых обкладками конденсатора, которые разделены диэлектрическим слоем с толщиной меньшей, чем размеры обкладок.

Формула напряженности плоского конденсатора:

Электроемкость плоского конденсатора:

Уравнение энергии, которой обладает заряженный конденсатор:

Конденсатор

В современной технике практикуется использование электростатических эффектов. Например, чтобы качественно очистить воздух от частиц гари и пыли с помощью специальных электрических фильтров, равномерно распределять красящие составы благодаря краскопультам, распечатывать материалы в офисных установках (таких, как «Ксерокс»), производить наждачную бумагу.

Электростатическую защиту оснащают при помощи экранирующих проводников, что позволяет оградить от электрических полей электроизмерительные чувствительные устройства.

Конструкции в виде металлических сеток защищают любые огнеопасные объекты, включая склады с порохом, от внезапного удара молнии. Характеристика избыточных электрических зарядов определяется на поверхности проводников, а затем широко используется в приборе генератора Ван-дер-Граафа, который представляет собой устройство для получения сверхсильных электрических и магнитных полей.

Электростатика, как научная область, мало изучена. Ученые длительное время избегали данной темы из-за ее ограниченного применения в технике. Активное использование полимеров в промышленных масштабах послужило причиной поиска новых решений, позволяющих нейтрализовать постоянные и статические заряды.

Сегодня электростатика отличается многогранными и многочисленными сферами применения. Электростатические явления используют в технике и медицине, что делает направление перспективным для дальнейшего развития.

Как найти к в электростатике

Электрический заряд – это физическая величина, характеризующая способность частиц или тел вступать в электромагнитные взаимодействия. Электрический заряд обычно обозначается буквами q или Q. В системе СИ электрический заряд измеряется в Кулонах (Кл). Свободный заряд в 1 Кл – это гигантская величина заряда, практически не встречающаяся в природе. Как правило, Вам придется иметь дело с микрокулонами (1 мкКл = 10 –6 Кл), нанокулонами (1 нКл = 10 –9 Кл) и пикокулонами (1 пКл = 10 –12 Кл). Электрический заряд обладает следующими свойствами:

1. Электрический заряд является видом материи.

2. Электрический заряд не зависит от движения частицы и от ее скорости.

3. Заряды могут передаваться (например, при непосредственном контакте) от одного тела к другому. В отличие от массы тела электрический заряд не является неотъемлемой характеристикой данного тела. Одно и то же тело в разных условиях может иметь разный заряд.

4. Существует два рода электрических зарядов, условно названных положительными и отрицательными.

5. Все заряды взаимодействуют друг с другом. При этом одноименные заряды отталкиваются, разноименные – притягиваются. Силы взаимодействия зарядов являются центральными, то есть лежат на прямой, соединяющей центры зарядов.

6. Существует минимально возможный (по модулю) электрический заряд, называемый элементарным зарядом. Его значение:

e = 1,602177·10 –19 Кл ≈ 1,6·10 –19 Кл.

Электрический заряд любого тела всегда кратен элементарному заряду:

Формула Электрический заряд

где: N – целое число. Обратите внимание, невозможно существование заряда, равного 0,5е; 1,7е; 22,7е и так далее. Физические величины, которые могут принимать только дискретный (не непрерывный) ряд значений, называются квантованными. Элементарный заряд e является квантом (наименьшей порцией) электрического заряда.

7. Закон сохранения электрического заряда. В изолированной системе алгебраическая сумма зарядов всех тел остается постоянной:

Закон сохранения электрического заряда

Закон сохранения электрического заряда утверждает, что в замкнутой системе тел не могут наблюдаться процессы рождения или исчезновения зарядов только одного знака. Из закона сохранения заряда так же следует, если два тела одного размера и формы, обладающие зарядами q1 и q2 (совершенно не важно какого знака заряды), привести в соприкосновение, а затем обратно развести, то заряд каждого из тел станет равным:

Закон сохранения электрического заряда

С современной точки зрения, носителями зарядов являются элементарные частицы. Все обычные тела состоят из атомов, в состав которых входят положительно заряженные протоны, отрицательно заряженные электроны и нейтральные частицы – нейтроны. Протоны и нейтроны входят в состав атомных ядер, электроны образуют электронную оболочку атомов. Электрические заряды протона и электрона по модулю в точности одинаковы и равны элементарному (то есть минимально возможному) заряду e.

В нейтральном атоме число протонов в ядре равно числу электронов в оболочке. Это число называется атомным номером. Атом данного вещества может потерять один или несколько электронов, или приобрести лишний электрон. В этих случаях нейтральный атом превращается в положительно или отрицательно заряженный ион. Обратите внимание, что положительные протоны входят в состав ядра атома, поэтому их число может изменяться только при ядерных реакциях. Очевидно, что при электризации тел ядерных реакций не происходит. Поэтому в любых электрических явлениях число протонов не меняется, изменяется только число электронов. Так, сообщение телу отрицательного заряда означает передачу ему лишних электронов. А сообщение положительного заряда, вопреки частой ошибке, означает не добавление протонов, а отнимание электронов. Заряд может передаваться от одного тела к другому только порциями, содержащими целое число электронов.

Иногда в задачах электрический заряд распределен по некоторому телу. Для описания этого распределения вводятся следующие величины:

1. Линейная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по нити:

Формула Линейная плотность заряда

где: L – длина нити. Измеряется в Кл/м.

2. Поверхностная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по поверхности тела:

Формула Поверхностная плотность заряда

где: S – площадь поверхности тела. Измеряется в Кл/м 2 .

3. Объемная плотность заряда. Используется для описания распределения заряда по объему тела:

Формула Объёмная плотность заряда

где: V – объем тела. Измеряется в Кл/м 3 .

Обратите внимание на то, что масса электрона равна:

Закон Кулона

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого в условиях данной задачи можно пренебречь. На основании многочисленных опытов Кулон установил следующий закон:

Силы взаимодействия неподвижных точечных зарядов прямо пропорциональны произведению модулей зарядов и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Формула Закон Кулона

где: ε – диэлектрическая проницаемость среды – безразмерная физическая величина, показывающая, во сколько раз сила электростатического взаимодействия в данной среде будет меньше, чем в вакууме (то есть во сколько раз среда ослабляет взаимодействие). Здесь k – коэффициент в законе Кулона, величина, определяющая численное значение силы взаимодействия зарядов. В системе СИ его значение принимается равным:

Силы взаимодействия точечных неподвижных зарядов подчиняются третьему закону Ньютона, и являются силами отталкивания друг от друга при одинаковых знаках зарядов и силами притяжения друг к другу при разных знаках. Взаимодействие неподвижных электрических зарядов называют электростатическим или кулоновским взаимодействием. Раздел электродинамики, изучающий кулоновское взаимодействие, называют электростатикой.

Закон Кулона справедлив для точечных заряженных тел, равномерно заряженных сфер и шаров. В этом случае за расстояния r берут расстояние между центрами сфер или шаров. На практике закон Кулона хорошо выполняется, если размеры заряженных тел много меньше расстояния между ними. Коэффициент k в системе СИ иногда записывают в виде:

Формула Электростатический коэффициент

где: ε0 = 8,85∙10 –12 Ф/м – электрическая постоянная.

Опыт показывает, что силы кулоновского взаимодействия подчиняются принципу суперпозиции: если заряженное тело взаимодействует одновременно с несколькими заряженными телами, то результирующая сила, действующая на данное тело, равна векторной сумме сил, действующих на это тело со стороны всех других заряженных тел.

Запомните также два важных определения:

Проводники – вещества, содержащие свободные носители электрического заряда. Внутри проводника возможно свободное движение электронов – носителей заряда (по проводникам может протекать электрический ток). К проводникам относятся металлы, растворы и расплавы электролитов, ионизированные газы, плазма.

Диэлектрики (изоляторы) – вещества, в которых нет свободных носителей заряда. Свободное движение электронов внутри диэлектриков невозможно (по ним не может протекать электрический ток). Именно диэлектрики обладают некоторой не равной единице диэлектрической проницаемостью ε.

Для диэлектрической проницаемости вещества верно следующее (о том, что такое электрическое поле чуть ниже):

Формула Диэлектрическая проницаемость

Электрическое поле и его напряженность

По современным представлениям, электрические заряды не действуют друг на друга непосредственно. Каждое заряженное тело создает в окружающем пространстве электрическое поле. Это поле оказывает силовое действие на другие заряженные тела. Главное свойство электрического поля – действие на электрические заряды с некоторой силой. Таким образом, взаимодействие заряженных тел осуществляется не непосредственным их воздействием друг на друга, а через электрические поля, окружающие заряженные тела.

Электрическое поле, окружающее заряженное тело, можно исследовать с помощью так называемого пробного заряда – небольшого по величине точечного заряда, который не вносит заметного перераспределения исследуемых зарядов. Для количественного определения электрического поля вводится силовая характеристика — напряженность электрического поля E.

Напряженностью электрического поля называют физическую величину, равную отношению силы, с которой поле действует на пробный заряд, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда:

Формула Напряжённость электрического поля

Напряженность электрического поля – векторная физическая величина. Направление вектора напряженности совпадает в каждой точке пространства с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. Электрическое поле неподвижных и не меняющихся со временем зарядов называется электростатическим.

Для наглядного представления электрического поля используют силовые линии. Эти линии проводятся так, чтобы направление вектора напряженности в каждой точке совпадало с направлением касательной к силовой линии. Силовые линии обладают следующими свойствами.

  • Силовые линии электростатического поля никогда не пересекаются.
  • Силовые линии электростатического поля всегда направлены от положительных зарядов к отрицательным.
  • При изображении электрического поля с помощью силовых линий их густота должна быть пропорциональна модулю вектора напряженности поля.
  • Силовые линии начинаются на положительном заряде или бесконечности, а заканчиваются на отрицательном или бесконечности. Густота линий тем больше, чем больше напряжённость.
  • В данной точке пространства может проходить только одна силовая линия, т.к. напряжённость электрического поля в данной точке пространства задаётся однозначно.

Электрическое поле называют однородным, если вектор напряжённости одинаков во всех точках поля. Например, однородное поле создаёт плоский конденсатор – две пластины, заряженные равным по величине и противоположным по знаку зарядом, разделённые слоем диэлектрика, причём расстояние между пластинами много меньше размеров пластин.

Во всех точках однородного поля на заряд q, внесённый в однородное поле с напряжённостью E, действует одинаковая по величине и направлению сила, равная F = Eq. Причём, если заряд q положительный, то направление силы совпадает с направлением вектора напряжённости, а если заряд отрицательный, то вектора силы и напряжённости противоположно направлены.

Силовые линии кулоновских полей положительных и отрицательных точечных зарядов изображены на рисунке:

Силовые линии кулоновских полей

Принцип суперпозиции

Если с помощью пробного заряда исследуется электрическое поле, создаваемое несколькими заряженными телами, то результирующая сила оказывается равной геометрической сумме сил, действующих на пробный заряд со стороны каждого заряженного тела в отдельности. Следовательно, напряженность электрического поля, создаваемого системой зарядов в данной точке пространства, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых в той же точке зарядами в отдельности:

Формула Принцип суперпозиции для электрических полей

Это свойство электрического поля означает, что поле подчиняется принципу суперпозиции. В соответствии с законом Кулона, напряженность электростатического поля, создаваемого точечным зарядом Q на расстоянии r от него, равна по модулю:

Формула Напряженность электрического поля точечного заряда

Это поле называется кулоновским. В кулоновском поле направление вектора напряженности зависит от знака заряда Q: если Q > 0, то вектор напряженности направлен от заряда, если Q < 0, то вектор напряженности направлен к заряду. Величина напряжённости зависит от величины заряда, среды, в которой находится заряд, и уменьшается с увеличением расстояния.

Напряженность электрического поля, которую создает заряженная плоскость вблизи своей поверхности:

Формула Напряженность электрического поля заряженной плоскости

Итак, если в задаче требуется определить напряженность поля системы зарядов, то надо действовать по следующему алгоритму:

  1. Нарисовать рисунок.
  2. Изобразить напряженность поля каждого заряда по отдельности в нужной точке. Помните, что напряженность направлена к отрицательному заряду и от положительного заряда.
  3. Вычислить каждую из напряжённостей по соответствующей формуле.
  4. Сложить вектора напряжённостей геометрически (т.е. векторно).

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов

Электрические заряды взаимодействуют друг с другом и с электрическим полем. Любое взаимодействие описывается потенциальной энергией. Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных электрических зарядов рассчитывается по формуле:

Формула Потенциальная энергия взаимодействия двух электрических зарядов

Обратите внимание на отсутствие модулей у зарядов. Для разноименных зарядов энергия взаимодействия имеет отрицательное значение. Такая же формула справедлива и для энергии взаимодействия равномерно заряженных сфер и шаров. Как обычно, в этом случае расстояние r измеряется между центрами шаров или сфер. Если же зарядов не два, а больше, то энергию их взаимодействия следует считать так: разбить систему зарядов на все возможные пары, рассчитать энергию взаимодействия каждой пары и просуммировать все энергии для всех пар.

Задачи по данной теме решаются, как и задачи на закон сохранения механической энергии: сначала находится начальная энергия взаимодействия, потом конечная. Если в задаче просят найти работу по перемещению зарядов, то она будет равна разнице между начальной и конечной суммарной энергией взаимодействия зарядов. Энергия взаимодействия так же может переходить в кинетическую энергию или в другие виды энергии. Если тела находятся на очень большом расстоянии, то энергия их взаимодействия полагается равной 0.

Обратите внимание: если в задаче требуется найти минимальное или максимальное расстояние между телами (частицами) при движении, то это условие выполнится в тот момент времени, когда частицы движутся в одну сторону с одинаковой скоростью. Поэтому решение надо начинать с записи закона сохранения импульса, из которого и находится эта одинаковая скорость. А далее следует писать закон сохранения энергии с учетом кинетической энергии частиц во втором случае.

Потенциал. Разность потенциалов. Напряжение

Электростатическое поле обладает важным свойством: работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение: работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

Свойство потенциальности (независимости работы от формы траектории) электростатического поля позволяет ввести понятие потенциальной энергии заряда в электрическом поле. А физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

Формула Определение потенциала

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля. В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала (а значит и разности потенциалов, т.е. напряжения) является вольт [В]. Потенциал — скалярная величина.

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку, где значения потенциальной энергии и потенциала обращаются в ноль, удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом: потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

Вспомнив формулу для потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов и разделив ее на величину одного из зарядов в соответствии с определением потенциала получим, что потенциал φ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

Формула Потенциал точечного заряда

Потенциал рассчитанный по этой формуле может быть положительным и отрицательным в зависимости от знака заряда создавшего его. Эта же формула выражает потенциал поля однородно заряженного шара (или сферы) при rR (снаружи от шара или сферы), где R – радиус шара, а расстояние r отсчитывается от центра шара.

Для наглядного представления электрического поля наряду с силовыми линиями используют эквипотенциальные поверхности. Поверхность, во всех точках которой потенциал электрического поля имеет одинаковые значения, называется эквипотенциальной поверхностью или поверхностью равного потенциала. Силовые линии электрического поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы.

Электрическое напряжение это просто разность потенциалов, т.е. определение электрического напряжения может быть задано формулой:

Формула Электрическое напряжение

В однородном электрическом поле существует связь между напряженностью поля и напряжением:

Формула Связь между напряженностью поля и напряжением

Работа электрического поля может быть вычислена как разность начальной и конечной потенциальной энергии системы зарядов:

Формула Работа электрического поля как разность начальной и конечной потенциальной энергии

Работа электрического поля в общем случае может быть вычислена также и по одной из формул:

Формула Работа электрического поля

В однородном поле при перемещении заряда вдоль его силовых линий работа поля может быть также рассчитана по следующей формуле:

Формула Работа электрического поля в однородном поле

В этих формулах:

  • φ – потенциал электрического поля.
  • φ – разность потенциалов.
  • W – потенциальная энергия заряда во внешнем электрическом поле.
  • A – работа электрического поля по перемещению заряда (зарядов).
  • q – заряд, который перемещают во внешнем электрическом поле.
  • U – напряжение.
  • E – напряженность электрического поля.
  • d или ∆l – расстояние на которое перемещают заряд вдоль силовых линий.

Во всех предыдущих формулах речь шла именно о работе электростатического поля, но если в задаче говорится, что «работу надо совершить», или идет речь о «работе внешних сил», то эту работу следует считать так же, как и работу поля, но с противоположным знаком.

Принцип суперпозиции потенциала

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов (при этом знак потенциала поля зависит от знака заряда, создавшего поле):

Формула Принцип суперпозиции для электрического потенциала

Обратите внимание, насколько легче применять принцип суперпозиции потенциала, чем напряженности. Потенциал – скалярная величина, не имеющая направления. Складывать потенциалы – это просто суммировать численные значения.

Электрическая емкость. Плоский конденсатор

При сообщении проводнику заряда всегда существует некоторый предел, более которого зарядить тело не удастся. Для характеристики способности тела накапливать электрический заряд вводят понятие электрической емкости. Емкостью уединенного проводника называют отношение его заряда к потенциалу:

Формула Электрическая ёмкость

В системе СИ емкость измеряется в Фарадах [Ф]. 1 Фарад – чрезвычайно большая емкость. Для сравнения, емкость всего земного шара значительно меньше одного фарада. Емкость проводника не зависит ни от его заряда, ни от потенциала тела. Аналогично, плотность не зависит ни от массы, ни от объема тела. Емкость зависит лишь от формы тела, его размеров и свойств окружающей его среды.

Электроемкостью системы из двух проводников называется физическая величина, определяемая как отношение заряда q одного из проводников к разности потенциалов Δφ между ними:

Электроёмкость конденсатора

Величина электроемкости проводников зависит от формы и размеров проводников и от свойств диэлектрика, разделяющего проводники. Существуют такие конфигурации проводников, при которых электрическое поле оказывается сосредоточенным (локализованным) лишь в некоторой области пространства. Такие системы называются конденсаторами, а проводники, составляющие конденсатор, называются обкладками.

Простейший конденсатор – система из двух плоских проводящих пластин, расположенных параллельно друг другу на малом по сравнению с размерами пластин расстоянии и разделенных слоем диэлектрика. Такой конденсатор называется плоским. Электрическое поле плоского конденсатора в основном локализовано между пластинами.

Каждая из заряженных пластин плоского конденсатора создает вблизи своей поверхности электрическое поле, модуль напряженности которого выражается соотношением уже приводившимся выше. Тогда модуль напряженности итогового поля внутри конденсатора, создаваемого двумя пластинами, равен:

Формула Напряжённость электрического поля внутри плоского конденсатора

За пределами конденсатора, электрические поля двух пластин направлены в разные стороны, и поэтому результирующее электростатическое поле E = 0. Электроёмкость плоского конденсатора может быть рассчитана по формуле:

Электроёмкость плоского конденсатора

Таким образом, электроемкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади пластин (обкладок) и обратно пропорциональна расстоянию между ними. Если пространство между обкладками заполнено диэлектриком, электроемкость конденсатора увеличивается в ε раз. Обратите внимание, что S в этой формуле есть площадь только одной обкладки конденсатора. Когда в задаче говорят о «площади обкладок», то имеют в виду именно эту величину. На 2 умножать или делить её не надо никогда.

Еще раз приведем формулу для заряда конденсатора. Под зарядом конденсатора понимают только заряд его положительной обкладки:

Формула Заряд конденсатора

Сила притяжения пластин конденсатора. Сила, действующая на каждую обкладку, определяется не полным полем конденсатора, а полем, созданным противоположной обкладкой (сама на себя обкладка не действует). Напряженность этого поля равна половине напряженности полного поля, и сила взаимодействия пластин:

Формула Сила притяжения пластин плоского конденсатора

Энергия конденсатора. Ее же называют энергией электрического поля внутри конденсатора. Опыт показывает, что заряженный конденсатор содержит запас энергии. Энергия заряженного конденсатора равна работе внешних сил, которую необходимо затратить, чтобы зарядить конденсатор. Существует три эквивалентные формы записи формулы для энергии конденсатора (они следуют одна из другой если воспользоваться соотношением q = CU):

Формула Энергия конденсатора

Особое внимание обращайте на фразу: «Конденсатор подключён к источнику». Это означает, что напряжение на конденсаторе не изменяется. А фраза «Конденсатор зарядили и отключили от источника» означает, что заряд конденсатора не изменится.

Энергия электрического поля

Электрическую энергию следует рассматривать как потенциальную энергию, запасенную в заряженном конденсаторе. По современным представлениям, электрическая энергия конденсатора локализована в пространстве между обкладками конденсатора, то есть в электрическом поле. Поэтому ее называют энергией электрического поля. Энергия заряженных тел сосредоточена в пространстве, в котором есть электрическое поле, т.е. можно говорить об энергии электрического поля. Например, у конденсатора энергия сосредоточена в пространстве между его обкладками. Таким образом, имеет смысл ввести новую физическую характеристику – объёмную плотность энергии электрического поля. На примере плоского конденсатора, можно получить такую формулу для объёмной плотности энергии (или энергии единицы объёма электрического поля):

Формула Объёмная плотность энергии электрического поля

Соединения конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов – для увеличения ёмкости. Конденсаторы соединены одноименно заряженными обкладками, как бы увеличивая площадь одинаково заряженных пластин. Напряжение на всех конденсаторах одинаковое, общий заряд равен сумме зарядов каждого из конденсаторов, и общая ёмкость также равна сумме емкостей всех конденсаторов соединенных параллельно. Выпишем формулы для параллельного соединения конденсаторов:

Свойства параллельного соединения конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов общая ёмкость батареи конденсаторов всегда меньше, чем ёмкость наименьшего конденсатора, входящего в батарею. Применяется последовательное соединение для увеличения напряжения пробоя конденсаторов. Выпишем формулы для последовательного соединения конденсаторов. Общая емкость последовательно соединенных конденсаторов находится из соотношения:

Свойства последовательного соединения конденсаторов - Емкость

Из закона сохранения заряда следует, что заряды на соседних обкладках равны:

Свойства последовательного соединения конденсаторов - Заряды

Напряжение равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах.

Свойства последовательного соединения конденсаторов - Напряжение

Для двух последовательно соединённых конденсаторов формула выше даст нам следующее выражение для общей емкости:

Свойства последовательного соединения конденсаторов - два конденсатора

Для N одинаковых последовательно соединённых конденсаторов:

Свойства последовательного соединения конденсаторов - N одинаковых конденсаторов

Проводящая сфера

Напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю. В противном случае на свободные заряды внутри проводника действовала бы электрическая сила, которая вынуждала бы эти заряды двигаться внутри проводника. Это движение, в свою очередь, приводило бы к разогреванию заряженного проводника, чего на самом деле не происходит.

Факт того, что внутри проводника нет электрического поля можно понять и по-другому: если бы оно было то заряженные частицы опять таки двигались бы, причем они бы двигались именно так, чтобы свести это поле к нолю своим собственным полем, т.к. вообще-то двигаться им не хотелось бы, ведь всякая система стремится к равновесию. Рано или поздно все двигавшиеся заряды остановились бы именно в том месте, чтобы поле внутри проводника стало равно нолю.

На поверхности проводника напряжённость электрического поля максимальна. Величина напряжённости электрического поля заряженного шара за его пределами убывает по мере удаления от проводника и рассчитывается по формуле, аналогичной формулам для напряженности поля точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Так как напряженность поля внутри заряженного проводника равна нулю, то потенциал во всех точках внутри и на поверхности проводника одинаков (только в этом случае разность потенциалов, а значит и напряжённость равна нулю). Потенциал внутри заряженного шара равен потенциалу на поверхности. Потенциал за пределами шара вычисляется по формуле, аналогичной формулам для потенциала точечного заряда, в которой расстояния отсчитываются от центра шара.

Электрическая емкость шара радиуса R:

Электрическая емкость шара

Если шар окружен диэлектриком, то:

Электрическая емкость шара

Свойства проводника в электрическом поле

  1. Внутри проводника напряженность поля всегда равна нулю.
  2. Потенциал внутри проводника во всех точках одинаков и равен потенциалу поверхности проводника. Когда в задаче говорят, что «проводник заряжен до потенциала … В», то имеют в виду именно потенциал поверхности.
  3. Снаружи от проводника вблизи от его поверхности напряженность поля всегда перпендикулярна поверхности.
  4. Если проводнику сообщить заряд, то он весь распределится по очень тонкому слою вблизи поверхности проводника (обычно говорят, что весь заряд проводника распределяется на его поверхности). Это легко объясняется: дело в том, что сообщая заряд телу, мы передаем ему носители заряда одного знака, т.е. одноименные заряды, которые отталкиваются. А значит они будут стремиться разбежаться друг от друга на максимальное расстояние из всех возможных, т.е. скопятся у самых краев проводника. Как следствие, если из проводника удалить сердцевину, то его электростатические свойства никак не изменятся.
  5. Снаружи проводника напряженность поля тем больше, чем кривее поверхность проводника. Максимальное значение напряженности достигается вблизи остриев и резких изломов поверхности проводника.

Замечания к решению сложных задач

1. Заземление чего-либо означает соединение проводником данного объекта с Землей. При этом потенциалы Земли и имеющегося объекта выравниваются, а необходимые для этого заряды перебегают по проводнику с Земли на объект либо наоборот. При этом нужно учитывать несколько факторов, которые следуют из того, что Земля несоизмеримо больше любого объекта находящегося не ней:

  • Общий заряд Земли условно равен нолю, поэтому ее потенциал также равен нолю, и он останется равным нолю после соединения объекта с Землей. Одним словом, заземлить – означает обнулить потенциал объекта.
  • Для обнуления потенциала (а значит и собственного заряда объекта, который мог быть до этого как положительным так и отрицательным), объекту придется либо принять либо отдать Земле некоторый (возможно даже очень большой) заряд, и Земля всегда сможет обеспечить такую возможность.

2. Еще раз повторимся: расстояние между отталкивающимися телами минимально в тот момент, когда их скорости становятся равны по величине и направлены в одну сторону (относительная скорость зарядов равна нулю). В этот момент потенциальная энергия взаимодействия зарядов максимальна. Расстояние между притягивающимися телами максимально, также в момент равенства скоростей, направленных в одну сторону.

3. Если в задаче имеется система, состоящая из большого количества зарядов, то необходимо рассматривать и расписывать силы, действующие на заряд, который не находится в центре симметрии.

Как успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике?

Для того чтобы успешно подготовиться к ЦТ по физике и математике, среди прочего, необходимо выполнить три важнейших условия:

  1. Изучить все темы и выполнить все тесты и задания приведенные в учебных материалах на этом сайте. Для этого нужно всего ничего, а именно: посвящать подготовке к ЦТ по физике и математике, изучению теории и решению задач по три-четыре часа каждый день. Дело в том, что ЦТ это экзамен, где мало просто знать физику или математику, нужно еще уметь быстро и без сбоев решать большое количество задач по разным темам и различной сложности. Последнему научиться можно только решив тысячи задач.
  2. Выучить все формулы и законы в физике, и формулы и методы в математике. На самом деле, выполнить это тоже очень просто, необходимых формул по физике всего около 200 штук, а по математике даже чуть меньше. В каждом из этих предметов есть около десятка стандартных методов решения задач базового уровня сложности, которые тоже вполне можно выучить, и таким образом, совершенно на автомате и без затруднений решить в нужный момент большую часть ЦТ. После этого Вам останется подумать только над самыми сложными задачами.
  3. Посетить все три этапа репетиционного тестирования по физике и математике. Каждый РТ можно посещать по два раза, чтобы прорешать оба варианта. Опять же на ЦТ, кроме умения быстро и качественно решать задачи, и знания формул и методов необходимо также уметь правильно спланировать время, распределить силы, а главное правильно заполнить бланк ответов, не перепутав ни номера ответов и задач, ни собственную фамилию. Также в ходе РТ важно привыкнуть к стилю постановки вопросов в задачах, который на ЦТ может показаться неподготовленному человеку очень непривычным.

Успешное, старательное и ответственное выполнение этих трех пунктов, а также ответственная проработка итоговых тренировочных тестов, позволит Вам показать на ЦТ отличный результат, максимальный из того, на что Вы способны.

Нашли ошибку?

Если Вы, как Вам кажется, нашли ошибку в учебных материалах, то напишите, пожалуйста, о ней на электронную почту (адрес электронной почты здесь). В письме укажите предмет (физика или математика), название либо номер темы или теста, номер задачи, или место в тексте (страницу) где по Вашему мнению есть ошибка. Также опишите в чем заключается предположительная ошибка. Ваше письмо не останется незамеченным, ошибка либо будет исправлена, либо Вам разъяснят почему это не ошибка.

VEDAJ.BY - Архитектура и культура БеларусиDVERIDUB.BY - Двери, лестницы и мебель из массива дуба

ЗАПРЕЩЕНО использование представленных на сайте материалов или их частей в любых коммерческих целях, а также их копирование, перепечатка, повторная публикация или воспроизведение в любой форме. Нарушение прав правообладателей преследуется по закону. Подробнее.

© 2014 — 2023 EDUCON.BY — Физика и Математика — Теория и Задачи.

Как найти к в электростатике

Определить зависимость силы взаимодействия между равномерно заряженным тонким кольцом с зарядом Q и радиусом R, и точечным зарядом q, находящимся на оси кольца, от расстояния до центра кольца. Построить график. (аналог Ц.17.33)

Дано:
Q
q
R
Найти:
F(x)-?

Кольцо не является точечным зарядом, поэтому непосредственно закон Кулона не применим. Чтобы найти силу, действующую на заряд со стороны кольца, разобьем кольцо на элементарные отрезки dl с зарядом qi и от каждого проведем радиус-вектор к точечному заряду. Каждый из этих участков, можно рассматривать как точечный. Запишем силу, действующую на заряд q со стороны заряда qi :

тогда сила, действующая на заряд q со стороны всего кольца, по принципу суперпозиции будет равна:

Из симметрии задачи следует, что: Fy = 0, Fz = 0, тогда остается только составляющая Fx :

Из рисунка следует, что:

Проанализируем полученный результат. Данная функция нечетная, имеет точку:

Для нахождения экстремумов вычислим производную

Эта дробь равна 0, если:

Для удобного построения проведем «обезразмеривание» функции:

И построим график функции f(x/R) для qQ>0.

Закон Кулона

В современном мире электронная техника развивается семимильными шагами. Каждый день появляется что-то новое, и это не только небольшие улучшения уже существующих моделей, но и результаты применения инновационных технологий, позволяющих в разы улучшить характеристики.

Не отстает от электронной техники и приборостроительная отрасль – ведь чтобы разработать и выпустить на рынок новые устройства, их необходимо тщательно протестировать, как на этапе проектирования и разработки, так и на этапе производства. Появляются новая измерительная техника и новые методы измерения, а, следовательно – новые термины и понятия.

Для тех, кто часто сталкивается с непонятными сокращениями, аббревиатурами и терминами и хотел бы глубже понимать их значения, и предназначена эта рубрика.

Зако́н Куло́на — это закон, описывающий силы взаимодействия между точечными электрическими зарядами.

Был открыт Шарлем Кулоном в 1785 г. Проведя большое количество опытов с металлическими шариками, Шарль Кулон дал такую формулировку закона:

Модуль силы взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме прямо пропорционален произведению модулей этих зарядов и обратно пропорционален квадрату расстояния между ними

Иначе: Два точечных заряда в вакууме действуют друг на друга с силами, которые пропорциональны произведению модулей этих зарядов, обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними и направлены вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Эти силы называются электростатическими (кулоновскими).

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

  1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;
  2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;
  3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

\vec<F></p>
<p>_=k\cdot\frac<r_^2> \frac_><r_>,» /></p>
<p>где <img decoding=— величина зарядов; \vec<r>_» /> — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — <img decoding=); k— коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Коэффициент k

В СГСЭ единица измерения заряда выбрана таким образом, что коэффициент k равен единице.

В Международной системе единиц (СИ) одной из основных единиц является единица силы электрического тока ампер, а единица заряда — кулон — производная от него. Величина ампера определена таким образом, что k = c2·10-7 Гн/м = 8,9875517873681764·109 Н·м2/Кл2 (или Ф−1·м). В СИ коэффициент k записывается в виде:

k=\frac<1></p>
<p><4\pi\varepsilon_0>,» /></p>
<p><img decoding=

где ≈ 8,854187817·10−12 Ф/м — электрическая постоянная.

В однородном изотропном веществе в знаменатель формулы добавляется относительная диэлектрическая проницаемость среды ε.

k=\frac<1></p>
<p>.» /></p>
<p><img decoding=

<4\pi\varepsilon\varepsilon_0>.» />

Закон Кулона в квантовой механике

В квантовой механике закон Кулона формулируется не при помощи понятия силы, как в классической механике, а при помощи понятия потенциальной энергии кулоновского взаимодействия. В случае, когда рассматриваемая в квантовой механике система содержит электрически заряженные частицы, к оператору Гамильтона системы добавляются слагаемые, выражающие потенциальную энергию кулоновского взаимодействия, так, как она вычисляется в классической механике.

Так, оператор Гамильтона атома с зарядом ядра Z имеет вид:

.

Здесь m — масса электрона, е — его заряд, r_ — абсолютная величина радиус-вектора j-го электрона, r_<ij>=|r_-r_|» />. Первое слагаемое выражает кинетическую энергию электронов, второе слагаемое — потенциальную энергию кулоновского взаимодействия электронов с ядром и третье слагаемое — потенциальную кулоновскую энергию взаимного отталкивания электронов. Суммирование в первом и втором слагаемом ведется по всем N электронам. В третьем слагаемом суммирование идёт по всем парам электронов, причём каждая пара встречается однократно.</p>
<h3>Закон Кулона с точки зрения квантовой электродинамики</h3>
<p>Согласно квантовой электродинамике, электромагнитное взаимодействие заряженных частиц осуществляется путём обмена виртуальными фотонами между частицами. Принцип неопределённости для времени и энергии допускает существование виртуальных фотонов на время между моментами их испускания и поглощения. Чем меньше расстояние между заряженными частицами, тем меньшее время нужно виртуальным фотонам для преодоления этого расстояния и следовательно, тем большая энергия виртуальных фотонов допускается принципом неопределенности. При малых расстояниях между зарядами принцип неопределённости допускает обмен как длинноволновыми, так и коротковолновыми фотонами, а при больших расстояниях в обмене участвуют только длинноволновые фотоны. Таким образом, с помощью квантовой электродинамики можно вывести закон Кулона.</p>
<h3>История</h3>
<p>Впервые исследовать экспериментально закон взаимодействия электрически заряженных тел предложил Г. В. Рихман в 1752—1753 гг. Он намеревался использовать для этого сконструированный им электрометр-«указатель». Осуществлению этого плана помешала трагическая гибель Рихмана.</p>
<p>В 1759 г. профессор физики Санкт-Петербургской академии наук Ф. Эпинус, занявший кафедру Рихмана после его гибели, впервые предположил, что заряды должны взаимодействовать обратно пропорционально квадрату расстояния. В 1760 г. появилось краткое сообщениео том, что Д. Бернулли в Базеле установил квадратичный закон с помощью сконструированного им электрометра. В 1767 г. Пристли в своей «Истории электричества» отметил, что опыт Франклина, обнаружившего отсутствие электрического поля внутри заряженного металлического шара, может означать, что <em>«электрическое притяжение следует точно такому же закону, как и тяготение, то есть квадрату расстояния»</em>. Шотландский физик Джон Робисон утверждал (1822), что в 1769 г. обнаружил, что шары с одинаковым электрическим зарядом отталкиваются с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними, и таким образом предвосхитил открытие закона Кулона (1785).</p>
<p>Примерно за 11 лет до Кулона, в 1771 г., закон взаимодействия зарядов был экспериментально открыт Г. Кавендишем, однако результат не был опубликован и долгое время (свыше 100 лет) оставался неизвестным. Рукописи Кавендиша были вручены Д. К. Максвеллу лишь в 1874 г одним из потомков Кавендиша на торжественном открытии Кавендишской лаборатории и опубликованы в 1879 г.</p>
<p>Сам Кулон занимался исследованием кручения нитей и изобрел крутильные весы. Он открыл свой закон, измеряя с помощью них силы взаимодействия заряженных шариков.</p>
<h3>Закон Кулона, принцип суперпозиции и уравнения Максвелла</h3>
<p>Закон Кулона и принцип суперпозиции для электрических полей полностью равносильны уравнениям Максвелла для электростатики <img decoding=

Коэффициент в законе Кулона остается постоянным с точностью до 15·10−6.

Поправки к закону Кулона в квантовой электродинамике

На небольших расстояниях (порядка комптоновской длины волны электрона, \lambda_e=\tfrac<\hbar>» />≈3.86·10−13 м, где <img decoding=— масса электрона, \hbar— постоянная Планка, c— скорость света) становятся существенными нелинейные эффекты квантовой электродинамики: на обмен виртуальными фотонами накладывается генерация виртуальных электрон-позитронных (а также мюон-антимюонных и таон-антитаонных) пар, а также уменьшается влияние экранирования (см. перенормировка). Оба эффекта ведут к появлению экспоненциально убывающих членов порядка e^<-2r/\lambda_e>» /> в выражении для потенциальной энергии взаимодействия зарядов и, как результат, к увеличению силы взаимодействия по сравнению с вычисляемой по закону Кулона. Например, выражение для потенциала точечного заряда <img decoding=в системе СГС, с учётом радиационных поправок первого порядка принимает вид:

 \Phi(r) = \frac<Q></p>
<p>\cdot\left(1+ \frac<4\sqrt<\pi>>\frac><(r/\lambda_e)^<3/2>>\right), » /></p>
<p>где <img decoding=— комптоновская длина волны электрона, \alpha=\tfrac<e^2><\hbar c>» /> — постоянная тонкой структуры и <img decoding=. На расстояниях порядка \lambda_W=\tfrac<\hbar>» />~ 10−18 м, где <img decoding=— масса W-бозона, в игру вступают уже электрослабые эффекты.

В сильных внешних электромагнитных полях, составляющих заметную долю от поля пробоя вакуума (порядка \tfrac<m_e c^2><e\lambda_e>» />~1018 В/м или <img decoding=является убывающей функцией расстояния e_e=e_e(r). Эффективный потенциал, создаваемый электроном с электрическим зарядом e, можно описать зависимостью вида e_e(r)/r. Эффективный заряд e_e(r)зависит от расстояния rпо логарифмическому закону:

 \frac<e_e(r)></p>
<p>=1+\frac<3\pi>\ln\frac+\dots, » /></p>
<p><img decoding=

— т. н. постоянная тонкой структуры ≈7.3·10−3;

 r_e=\frac<e^2></p>
<p> <4\pi\epsilon_0c^2m_e>» /></p>
<p><img decoding=

— т. н. классический радиус электрона ≈2.8·10−13 см.

Эффект Юлинга

Явление отклонения электростатического потенциала точечных зарядов в вакууме от значения закона Кулона известно как эффект Юлинга, который впервые вычислил отклонения от закона Кулона для атома водорода. Эффект Юлинга даёт поправку к лэмбовскому сдвигу 27 мггц.

Закон Кулона и сверхтяжелые ядра

В сильном электромагнитном поле вблизи сверхтяжелых ядер с зарядом осуществляется перестройка вакуума, аналогичная обычному фазовому переходу. Это приводит к поправкам к закону Кулона.

Значение закона Кулона в истории науки

Закон Кулона является первым открытым количественным и сформулированным на математическом языке законом для электромагнитных явлений. С открытия закона Кулона началась современная наука об электромагнетизме.

Основные формулы электростатики

Справочник

Электростатикой называют раздел физики, в котором изучают неподвижные, покоящиеся электрические заряды и поля. В статье мы рассмотрим самые важные законы электростатики, определения и формулы этой важнейшей области науки о свойствах и формах окружающей нас материи.

Понятие электрического заряда и его важнейшие законы электростатики

Определения 1 — 2

Электрическим зарядом именуют физическую величину, характеризующую способность тел вступать между собой в электромагнитное взаимодействие. Обозначается электрический заряд обычно буквами q или Q. В системе он измеряется в Кулонах.

Один Кулон равняется заряду, проходимому через проводник (его поперечное сечение) за 1 секунду с силой тока в 1 Ампер.

Элементарный электрический заряд – минимальный электрический заряд, существование которого допускается природой. Он равен:

\[\mathrm=1,602177 \cdot 10-19 \mathrm \approx 1,6 \cdot 10-19 \mathrm\]

Любой, правильнее сказать абсолютно любой, электрический заряд кратен элементарному.

\[\mathrm=\mathrm^ \mathrm\]

Существуют два типа зарядов – положительные (они обозначаются знаком +) и отрицательные (они обозначаются знаком — ). Между одноимёнными электрическими зарядами всегда происходит отталкивание, разноимёнными — притяжение.

Закон сохранения электрического заряда

Закон 1 + формула

Это важнейший закон не только электростатики, но и всей физики. Суть его состоит в том, что сумма зарядов любой системы, которая электрически изолирована, не может измениться ни при каких обстоятельствах. На языке математики — это можно записать так:

\[\mathrm_+\mathrm_+\mathrm_+\ldots+\mathrm_<\mathrm>=\text < const >\]

Процессы появления/исчезновения зарядов наукой зафиксированы, но тот и другой процесс предполагает их парное (положительный и отрицательный) появление или уничтожение. Причём возникающие и исчезающие заряды должны быть не только противоположны между собой по знаку, но и равны по абсолютной величине.

Определение 3

Электризацией называют явление перераспределения электрического заряда между физическими телами.

Основными способами электризации являются трение, касание и влияние. Тела, ставшие в силу тех или иных процессов электрически заряженными, называют электризованными.

Если мы имеем два тела одинакового размера и формы, заряжённые один q1, второй q2, то из выше приведённого закона сохранения явным образом следует, что если привести их в соприкосновение друг с другом, а затем развести, величина заряда каждого из них станет равной

Величина заряда никак не зависит от его движения и скорости. Это означает, что если заряжённое тело начнёт двигаться, то от это никак не повлияет на величину его заряда, не уменьшит и не увеличит её.

Электростатика закон кулона

Определение 4

Точечными электрическими зарядами именуются такие электрически заряженные физические тела, формой и размерами которых при рассмотрении процесса их взаимодействия можно пренебречь.

Одни и те же тела в одних условиях можно считать точечными, а в других нет. Например, две заряженные полусферы, находящиеся друг от друга на расстоянии в сотню раз превышающем их размер допустимо считать точечными зарядами. Если расстояние разделяющие заряженные полусферы сравнимо с их размерами, то при расчёте электрического взаимодействия, размеры и форму придётся учитывать обязательно.

Закон 2 + формула

Закон Кулона провозглашает, что сила, с которой два точечных заряда взаимодействуют в пустоте, прямо-пропорционально зависит от абсолютной величины указанных зарядов и обратно пропорционально от квадрата расстояния, которое их разделяет.

\[\mathrm=\mathrm\left(\left|\mathrm_\right|^\left|\mathrm_\right|\right) / \mathrm^\]

k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбранной системы измерений. В СИ он равен k = 9*10 9 (Н*м 2 )/Кл 2 .

Закон Кулона

Если заряженные тела находятся в каком-либо веществе, в указанном законе появляется ещё один коэффициент, называемый диэлектрической проницаемостью.

Определение 5

Диэлектрическая проницаемость – величина, обозначающая, во сколько раз сила (F) взаимодействия зарядов, находящихся в веществе, меньше их силы взаимодействия в вакууме (F0). Обозначается диэлектрическая проницаемость чаще всего, буквой ε.

Из определения можно сделать вывод, что диэлектрическая проницаемость вакуума равняется единице (ε =1). Диэлектрическую проницаемость воздуха при рассмотрении очень многих явлений можно тоже считать равной 1.

Проводниками называют вещества, в которых присутствуют свободные носители заряда. Диэлектриками – вещества, в которых их нет.

Самый яркий и хорошо известный пример проводника – металлы. Носителями заряда в них являются свободные электроны. Также проводниками являются недистиллированная вода, влажный грунт, растворы солей и т. д.

У диэлектриков свободные заряды почти полностью отсутствуют. К подобным веществам относятся воздух, стекло, фарфор, сухое дерево, резина, пластмассы и т. д.

Закон Кулона хотя и описывает взаимодействие электрических зарядов, совершенно ничего не говорит о его природе. Многочисленные эксперименты подтвердили, что заряжённые тела действуют друг на друга не непосредственно, а с помощью электростатического поля. О его важнейших характеристиках поговорим далее.

Напряжённость

Закон 3 + формула

Векторная величина, равная силе, которой поле оказывает действие на помещённый в него единичный положительный заряд.

\[\mathrm=\mathrm / \mathrm\]

Единицей измерения напряжённости служат Н/Кл или В/м.

Для описания электрического поля часто используют так называемые силовые линии.

Описание электрического поля

Особо следует подчеркнуть, что силовые линии в природе не существуют. Они являются плодом человеческого воображения, помогающим лучше и нагляднее описать электрическое поле и более ничем.

Основными свойствами силовых линий считаются:

  • Совпадение с направлением вектора напряжённости;
  • Незамкнутость. Принято считать, что линии идут положительных зарядов к отрицательным;
  • Стабильность во времени. Напомним, речь здесь идёт об электростатических электрических полях. В электродинамике, где поля не постоянны, всё несколько иначе;
  • Непересекаемость между собой. Линии никогда не находят одна на другую, какое бы явление мы ни рассматривали;
  • Перпендикулярность плоскости поверхности основного проводника. Последний можно представить в виде совокупности множества точечных зарядов из которых силовые линии исходят или, наоборот, входят в них.

Электростатический потенциал

Определение 6 + формула

Электростатический потенциал — это скалярная величина, равная потенциальной энергии находящегося в нём единичного положительного заряда. Вычисляется она по формуле

\[\varphi=\mathrm_> / \mathrm\]

Часто под потенциалом электростатического поля понимают работу, которую нужно затратить, чтобы переместить единичный положительный заряд из точки, где он находится, на бесконечность.

Работа по перемещению заряда в электростатическом поле определяется лишь его начальным и конечным положениями, но не путём перемещения. Такое поле называют потенциальным.

потенциальное поле

Конкретная величина потенциала почти никакой информации о поле не даёт. Значение имеет разность потенциалов.

Определения 7 — 9

Напряжением в электростатике называют разность потенциалов между двумя точками поля \[\mathrm=\varphi_-\varphi_\].

Единицей измерения потенциала является Вольт. Он равен 1 В = 1 Дж/Кл

Электроёмкостью называют физическую величину, характеризующую способность проводников (в том числе систем проводников) накапливать электрический заряд. Чаще всего её обозначают буквой C. Измеряется в Фарадах. Один Фарад равен ёмкости, которую имеет конденсатор с зарядом каждой из пластин в 1 Кулон и напряжением между ними в 1 Вольт.

Конденсаторами именуют устройство накопления электрического заряда, состоящее из проводящих пластин, разделённых между собой диэлектриком. Форма пластин может быть абсолютно любой. Чаще всего встречаются плоские, цилиндрические и сферические. Диэлектрик тоже бывает разным: слюда, керамика, бумага и пр.

Приведём в таблице основные формулы электростатики:

Применение метода фиктивных канонических областей в задачах электростатики Текст научной статьи по специальности «Физика»

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Гладкий Сергей Леонидович, Тарунин Евгений Леонидович, Ясницкий Леонид Нахимович

Многие задачи электростатики сводятся к задаче Дирихле для потенциала электрического поля [1]. Однако соответствующие уравнения эллиптического типа в сложных областях редко имеют аналитическое решение. В данной работе выяснены возможности метода фиктивных канонических областей (ФКО) [2-4] для двух задач электростатики . В первой задаче находится значение заряда, приобретенного шаром при его соприкосновении с пластиной конденсатора. Во второй задаче находится поправка к силе Кулона в зависимости от расстояния между пластинами.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Гладкий Сергей Леонидович, Тарунин Евгений Леонидович, Ясницкий Леонид Нахимович

Интерактивная лекция по электростатике
О новых точных решениях задачи электростатики проводников

Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2017 года по физике

О левитации произвольного по форме диамагнитного тела в магнитном поле

Особенности методики обучения физике в школе по теме «Энергия заряда в электростатическом поле и потенциал»

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Many of electrostatics problems can be reduced to Dirichlet problem for electric potential. But according elliptic equations rarely have analytical solutions for complicated domains. In this work the possibilities of fictitious canonic region (FCR) method turned out to solve electrostatics problems. In the first problem the charge of a ball is calculated when it touches on of the plane capacitor’s plate. In the second problem the correction of Coulomb’s force is calculated depending on the distance between plates.

Текст научной работы на тему «Применение метода фиктивных канонических областей в задачах электростатики»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Серия: Физика

Применение метода фиктивных канонических областей в задачах электростатики

С. Л. Гладкийа, Е. Л. Тарунинь, Л.Н.Ясницкийь

a) Пермский государственный исследовательский политехнический университет,

614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29

b) Пермский государственный национальный исследовательскийуниверситет,

614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Многие задачи электростатики сводятся к задаче Дирихле для потенциала электрического поля [1]. Однако соответствующие уравнения эллиптического типа в сложных областях редко имеют аналитическое решение. В данной работе выяснены возможности метода фиктивных канонических областей (ФКО) [2-4] для двух задач электростатики. В первой задаче находится значение заряда, приобретенного шаром при его соприкосновении с пластиной конденсатора. Во второй задаче находится поправка к силе Кулона в зависимости от расстояния между пластинами.

Ключевые слова: электростатика, сила Кулона, краевая задача.

В 1957 году доцентом Н.В. Котельниковым в качестве курсовой работы Е.Л. Тарунину была сформулирована задача — построить тарировочную зависимость периода колебаний маятника в пространстве между обкладками плоского конденсатора от разности потенциала между пластинами Т (и0). Требуемая зависимость была построена для напряжений от 2 до 13 кВ, и результаты вполне удовлетворили руководителя. Кроме маятника была еще испытана конструкция с шариком, катающимся между пластинами по желобу. К сожалению, данные этой курсовой работы не сохранились. Примерные параметры маятника таковы: длина маятника 40-50 см, расстояние между пластинами конденсатора 6-10 см, в качестве груза использовались стальные шарики диаметром менее 1 см.

После этих экспериментов остались невыясненными многие вопросы, так как не удалось теоретически найти зависимость периода колебаний от приложенной разности потенциалов. Самый первый вопрос при построении теоретической модели заключается в определении заряда, который приобретается металлическим шариком. Этот заряд и вычисляется в первой задаче. Кроме того, было замечено, что при приближении заряженного шарика к противоположной пластине проскакива-

ла искра. В результате этих разрядов после нескольких испытаний блестящая поверхность стального шарика становилась коричневой.

Похожие проблемы возникали при попытке описать движение ансамбля мелких частиц в пространстве между обкладками цилиндрического конденсатора. Соответствующая экспериментальная установка (демонстрировалась на Всесоюзном съезде по механике в Ташкенте) позволяла визуально видеть регулярные структуры движения частиц.

Знакомство с работами [5-6] привело к мысли корректировать силу, действующую на заряженное тело. Эти корректировки обсуждены при решении обеих задач. В плане исследований находится еще одна задача, инициированная этими же работами, в которых показано, что при малых расстояниях между заряженными шарами с проводящей поверхностью требуется учесть отклонение силы взаимодействия от закона Кулона. В заключение введения отметим, что в работе [7] исследовались колебания различных маятников в электростатическом поле и обнаружены уникальные свойства их поведения, которые раньше не наблюдались.

2. Постановка задачи №1

Проводящее тело касается одной из пластин плоского конденсатора. Требуется определить ве-

© Гладкий С.Л., Тарунин Е. Л., Ясницкий Л.Н., 2011

личину заряда Q0, приобретенного этим телом. Эта ситуация изображена на рис.1 для тела в форме шара радиуса а. В математической формулировке требуется решить соответствующую задачу Дирихле для уравнения Лапласа для потенциала

Ap = Q, р(x, y, H) = UQ, на G р = Q.

. д2р 2 др І д2р І др

Ap = -^ + -^ + ^—т + ^0?в^ = Q . (3)

Задачу можно решать и в цилиндрических координатах (р, z). Связь цилиндрических координат со сферическими определяется соотношениями

p = r sin(0), z = r GOS^).

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет вид

3. Тестовые задачи

Прежде чем обсуждать численное решение задачи для шара, обсудим результаты с приближенными аналитическими решениями для полусферы и тонкой шайбы. В случае полусферы, лежащей на нижней пластине, потенциал ф(т,в) равен:

Рис. 1. Геометрия области

Область G включает в себя нижнюю границу области z = 0 и поверхность шара (на рис. 1 изображена половина области, так как решение предполагается симметричным относительно вертикальной оси, проходящей через точку касания шара с нижней поверхностью).

После нахождения потенциала величина заряда на шаре определяется по формуле

Qo =j DndS = ss0 f EndS = ~eeo f^pp dS. (2)

Здесь Dn — нормальная составляющая индукции электрического поля на поверхности шара, E — нормальная составляющая напряженности электрического поля, s — диэлектрическая постоянная среды, s0 ~ 8.85 10-12 Кл2/(Н м2) — электрическая постоянная, Е — напряженность электрического поля, связанная с потенциалом соотношением E = -grad(р) [1].

Постановка задачи позволяет решать задачу в безразмерных переменных — в области высотой H =1 с параметрами U0 = 1, s =s = 1. Для перехода к размерным значениям заряда безразмерное значение заряда q0 необходимо умножить на к = ss0 |E0| = ss0 (U0 / H). С учетом осевой симметрии в безразмерных переменных требуется решить задачу Дирихле в сферической области (r,0 ), разрез которой изображен на рис. 1:

Это решение нам указал Ю.К. Братухин.

На полусфере (r = a ) и в плоскости z = 0 потенциал обращается в ноль. Вдали от полусферы (r >>a) limp ^ r cosO = z, что соответствует потенциалу, не возмущенному наличием полусферы. Решение (6) предполагает, что радиус полусферы гораздо меньше расстояния между пластинами конденсатора. Из (6) легко вычисляется плотность распределения заряда ст(0) как функция угла и величина приобретенного разряда q0:

ст(в) = -^p(a,Q) = -3cosв, дr

ja^ds = |ст(в)2яз2sinвdв=-3т2. (В)

На элемент поверхности ds = 2т sin Odd с зарядом dq = a(O’)ds действует сила

df = -dq-P(a,O) = 18ma2 cos3(0)sin(0)d0. (9)

В целом на полусферу действует сила

При вычислении силы по формуле для невозмущенного поля получается значение

/о = Чо Е = Ът2, (11)

уменьшенное по сравнению с (10) в полтора раза.

Из аналитического решения для полусферы легко вычисляется относительное возмущение по-

тенциала 8 = (а / г) . Отсюда, в частности, следует, что на расстояниях г > 4.64а величина 8 < 1% . Следовательно, при значениях г >5а можно ставить граничные условия, соответствующие невозмущенному потенциалу ф = 2 = г соб(0) . В методе ФКО невозмущенные граничные условия при малых значениях радиуса шара (а < 0.1)) задавались на расстоянии г >10а .

Рассмотрим вариант с шайбой, лежащей на пластине с нулевым потенциалом. Для шайбы с большим радиусом (а >> 1) в центральной части области следует ожидать значения потенциала и плотности заряда

При таком потенциале легко оцениваются величина заряда и силы

Для шара радиуса а = 0.1 максимальное отклонение потенциала, полученное методом ФКО от заданных значений не превосходило 0.00016. Вычисленное значение модуля заряда оказалось равным |ч0| = 0.2071 = 6.582та2, что примерно в

2.20 раза больше по сравнению с полусферой (в предварительных расчетах величина заряда была на 1.5% выше). Изолинии потенциала для этого случая изображены на рис. 2.

Как видно, и в этом случае f >f 0.

Вариант с шайбой решался и численно методом сеток для параметров: 0.01 < d < 0.05 ,

d = 0.02 обсуждаемое превышение составляет 1.94%, а при d = 0.01 лишь 1.015%. Завышенные значения модуля плотности заряда по сравнению с |ст| приводят и к увеличению модуля заряда и силы: при d = 0.02 отношение f / f равно 1.152, а при d = 0.01 равно 1.082. Рассмотренные задачи выявили два важных факта — величина модуля заряда пропорциональна квадрату размера тела, отношение (f / f0) > 1.

4. Результаты для шара

Перейдем к обсуждению результатов, полученных методом ФКО по программе REGIONS Multi-Physics X. Число слагаемых метода ФКО равнялось 153. Предварительные расчеты выполнялись в области значений 0 < z < 1, 0 < l < 1. В этом случае погрешность вычисления плотности

Рис. 2. Изолинии потенциала для шара с радиусом a=0.1

Малость верхней границы абсолютной погрешности 8р не гарантирует малости относительной погрешности решения. В нашей задаче минимальное значение потенциала равно нулю и, следовательно, относительная погрешность вблизи этой границы формально стремится к бесконечности.

Анализ результатов расчета показал, что значительная погрешность метода возникает в донной части шара, где смыкаются две поверхности с нулевым потенциалом. Для понимания причины погрешности достаточно рассмотреть следующую ситуацию. Пусть имеется узкий канал высотой h

вдоль горизонтальной оси р . Этот канал имитирует область вблизи точки касания шара с поверхностью z = 0 .

В канале потенциал может быть описан функцией вида р» hpk (к > 2). Вторая производная по координате вдоль канала положительна. Следовательно, для удовлетворения уравнению Лапласа, равного нулю, вторая производная поперек канала должна быть отрицательной. При равенстве нулю функций на границе это условие выполняется, например, для разностной производной и сетке с одним узлом в середине в виде

(0 — 2р(р,h/2) + 0)/(0.5h)2 0 и 8 > р(р, h /2) разностная производная сменит знак и, таким образом, даст неверный результат.

Заметим, что расчеты методом ФКО тестовой задачи для полусферы, в которой нет смыкающихся поверхностей, показали его высокую точность: при шести функциях относительная погрешность определения величины заряда и силы не превосходила 0.21%.

Как видно по рис. 2, значительное возмущение потенциала сосредоточено на расстоянии, примерно равном, трем-четырем радиусам шара.

Величина силы f , действующей на шар при его касании нижней пластины, при a = 0.1 равна

i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0.1189. При подсчете силы по формуле (11) получается значение f0 = |q0| = 0.2071, что примерно в

1.74 раза больше f. В тестовых примерах было справедливым обратное неравенство: f > f0 . Обнаруженное расхождение вполне объяснимо. В тестовых примерах (полусфера и шайба) для всех участков поверхности df > 0 , а в случае шара в его донной части df < 0 .

При увеличении радиуса шара вдвое (a = 0.2) величина модуля заряда увеличивается в 4.05 раза. Заметим, что при достаточно малых радиусах шара это увеличение должно быть равным 4. Расчеты при меньших значениях радиуса шара (см. табл. 1) подтвердили ожидаемую зависимость

q0 / a2 = const. Согласно расчетам

|^| = (ее0и 0/ Н )| Ч0\ = (14)

(ее0иа /Н)(6.591 + 0.002)та2.

Таблица 1. Результаты решения для различных значений радиуса шара

Радиус шара a Заряд qQ Погрешность в граничных условиях

Q.Q1 2.Q713E-Q3 Q.QQQ16

Q.Q2 8.2832E-03 Q.QQQ33

Q.Q5 5.1768E-02 0.00083

Q.1Q 2.Q7Q6E-Q1 Q.QQ17Q

Q.2Q 8.4848E-01 0.00220

В предварительных расчетах отношение ч0 / а2 при уменьшении радиуса шара убывало: соответствующие значения были равны 19.86, 15.18, 12.13; анализ зависимости поверхностной плотности заряда от полярного угла ст(в) позволил выяснить, что причиной этого отклонения является погрешность решения методом ФКО в донной части шара при в > 110°.

Зависимость поверхностной плотности заряда от полярного угла ст(в) представлена на рис. 3 для двух значений радиуса шара а = 0.1 и а = 0.2 (при меньших радиусах зависимость ст(в) близка к случаю со значением а = 0.1 ).

Как видно, при а = 0.1 модуль поверхностной плотности заряда монотонно убывает с ростом полярного угла до в и 140°. Значения при углах

в > 140° следует признать ошибочными, при этих углах модуль поверхностной плотности заряда должен монотонно убывать до нуля.

В этом случае центр заряженного проводящего шара находился на расстоянии к > а от нижней пластины. В случае проводящего шара потенциал на нем может быть только постоянным [1]. Этот постоянный потенциал на поверхности шара должен быть найден из условия равенства заряда значению, полученному при соприкосновении шара с пластиной.

Алгоритм требовал решения нескольких краевых задач для различных значений потенциала р5, заданного на поверхности шара. Полученная зависимость ч(р) аппроксимировалась полиномом по методу НК. Из полученной аппроксимации находилось значение потенциала, соответствующее заданному заряду. Зависимость заряда на шаре от потенциала (к = 0.2,а = 0.1) близка к линейной функции

Чр5)и 0.3283-1.6936р . (15)

Рис. 3. Зависимость поверхностной плотности заряда от полярного угла

Используя значения заряда д0 = 0.20706, приобретенного при касании пластины, из уравнения (15) находим значение потенциала на шаре (р8 (0.2) = 0,0716.

Аналогичные расчеты были выполнены при других положениях шара с радиусом а = 0.1. Результаты этих расчетов (значения потенциала на шаре ф8, силы /, действующей на шар, и отношения сил / / f0 ) представлены в табл. 2. Зависимость потенциала на шаре от расстояния его центра до нижней поверхности изображена на рис. 4.

Таблица 2. Результаты решения для различных значений высоты к

Высота h Ps f f / fo

0.10 0 1.1890E-01 5.7412E-01

0.15 3.0983E-02 1.2810E-01 6.1854E-01

0.20 7.1587E-02 1.3165E-01 6.3568E-01

0.30 1.6233E-01 1.3521E-01 6.5287E-01

0.50 3.5814E-01 1.3908E-01 6.7156E-01

0.70 5.6702E-01 1.4712E-01 7.1038E-01

0.80 6.8394E-01 1.6714E-01 8.0705E-01

0.85 7.5482E-01 2.1118E-01 1.0197E+00

Рис. 4. Зависимость потенциала на шаре от расстояния центра шара до плоскости 2 = 0

Как видно, зависимость р8 (к) близка к прямой, небольшие отклонения от прямой заметны для расстояний, близких к пластинам. Тангенс угла наклона зависимости р8 (к) в центральной части слоя примерно равен 1.02. Для сравнения укажем, что тангенс угла наклона прямой, проходящей через точки р8 (а) = 0, р8 (1 — а) = 1, равен 1.25.

При приближении шара к верхней пластине

конденсатора возрастает напряженность в пространстве между верхней частью шара и пластиной. Это возрастание напряженности может привести к электрическому пробою. Из полученных результатов следует, что при к = 0.85 напряженность поля в указанной области выражается следующей формулой: Е и (1 -р8 (к))/(1 — к) и 4.9Е0 .

Зависимость силы, действующей на шар, при

различных значениях И для шара с радиусом а = 0.1 изображена на рис. 5. Распределение поверхностной плотности заряда сг(в) при различных расстояниях центра шара от нижней пластины показано на рис. 6.

Видно, что при приближении шара к верхней

пластине увеличивается значение модуля \а(в)\ в

верхней части шара (в < 75°), а в нижней части шара (в>85°) уменьшается. Малые изменения

сг(в) соответствуют углам в = 80° ± 5°. Область положительных значений поверхностной плотности заряда монотонно увеличивается при удалении от нижней пластины и при к = 0.85 достигает Лв и 65°.

Рис. 5. Зависимость силы, действующей на заряженный шар радиуса а = 0.1, от расстояния его центра до нижней пластины конденсатора

Рис. 6. Зависимость сг(в) при различных И (а = 0.1)

1. Выяснены положительные и отрицательные свойства метода ФКО.

2. С помощью коррекции метода удалось определить величину заряда, приобретаемого проводящим шаром при его касании пластины плоского конденсатора.

3. Обнаружено существенное (более чем в 1.5

4. раза) уменьшение величины силы, действующей на заряженный шар в нижней и центральной части, по сравнению с силой, вычисляемой по формуле f = д0Е0.

5. На малых расстояниях до противоположной пластины сила притяжения увеличивается. При этом увеличивается вероятность электрического пробоя, который резко уменьшает силу притяжения.

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М Курс физики. М.: ВШ, 2001. 384 с.

2. Ясницкий Л.Н. Метод фиктивных канонических областей в механике сплошных сред. М.: Наука, 1992. 128 с.

3. Гладкий С.Л., Ясницкий Л.Н. Об оценке погрешности метода фиктивных канонических областей // Изв. Акад. наук. Механика твердого тела. М. 2002. № 6. С. 69-75.

4. Гладкий С.Л., Степанов Н.А., Ясницкий Л.Н.

Интеллектуальное моделирование физических проблем. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2006. 200 с.

5. Саранин В. А. О взаимодействии двух электрически заряженных проводящих шаров // УФН. 1999. Т. 169. С. 453-458.

6. Саранин В. А., Майер В.В. Теоретические и экспериментальные исследования взаимодействия двух проводящих заряженных шаров// УФН. 2010. Т. 180. С. 1109-1117.

7. Саранин В. А. Электростатический осциллятор (в печати).

Fictitious canonic region method application for electrostatics problems

S. L. Gladkiya, E. L. Taruninb, L. N. Yasnitskiyb

a Perm State Technical University, Komsomolskiy Pr., 29, 614990, Perm b Perm State University, Bukirev St., 15, 614990, Perm

Many of electrostatics problems can be reduced to Dirichlet problem for electric potential. But according elliptic equations rarely have analytical solutions for complicated domains. In this work the possibilities of fictitious canonic region (FCR) method turned out to solve electrostatics problems. In the first problem the charge of a ball is calculated when it touches on of the plane capacitor’s plate. In the second problem the correction of Coulomb’s force is calculated depending on the distance between plates.

Keywords: electrostatics, Coulomb’s force, boundary value problem.

Задачи на закон Кулона: примеры решения задач по электростатике

Задачи на закон Кулона: примеры решения задач по электростатике

Никакой воды. Только типовые задачи с подробным разъяснением и ответом.

Полезная и ежедневная рассылка для студентов всех специальностей – на нашем телеграм-канале.

Задача 1

Три одинаковых точечных заряда q1=q2=q3=2 нКл находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной a=10 см. Определить модуль и направление силы F, действующей на один из зарядов со стороны двух других.

Решение

Очевидно, задача требует рисунка. Выполним его:

Задача 1

В данной задаче при решении применяется закон Кулона:

Сила взаимодействия двух точечных зарядов в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, пропорциональна их величинам и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Она является силой притяжения, если знаки зарядов разные, и силой отталкивания, если эти знаки одинаковы.

Сила, с которой взаимодействуют заряды 1 и 2 равна:

Задача 1

Так заряды равны, то

Треугольник равносторонний, все его углы равны 60 градусов. Искомая сила направлена по биссектрисе угла и находится по формуле:

Осталось подставить значения из условия и вычислить:

Ответ: 6,2 мкН.

Задача 2

Два положительных точечных заряда Q и 9Q закреплены на расстоянии d=100 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было устойчивым, если перемещение зарядов возможны только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

Решение

Снова выполним рисунок:

Для равновесия зарядов необходимо, чтобы они действовали друг на друга с одинаковыми силами:

Из условия можно вычислить:

Сократим и перепишем равенство сил:

При вычислении не забываем переводить все величины в систему СИ

Для устойчивого равновесия заряд q должен быть положительным. Если он сместится из положения равновесия ближе к заряду q2, то сила отталкивания со стороны этого заряда возрастет, а со стороны заряда q1 – уменьшится, и заряд q возвратится в положение равновесия.

Ответ: r1=0.7м, r2=0.3м, заряд положительный.

А теперь задача посложнее, с интегралами. Кстати! Для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

Задача 3

Тонкий стержень длиной l=10 см равномерно заряжен с линейной плотностью заряда τ=1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии d=20см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q1 =100нКл. Определить силу взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда.

Решение

Вот как выглядит рисунок к этой задаче:

Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодействия точечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не является точечным, а представляет собой заряд, равномерно распределенный по длине стержня. Если выделить на стержне дифференциально малый участок длиной dx, то находящийся на нем заряд dQ=τ·dx можно рассматривать как точечный, и тогда по закону Кулона сила взаимодействия между зарядами Q1 и dQ.

r — расстояние от выделенного элемента до заряда Q1. В условии задачи не указана среда это значит, что заряды находятся в вакууме (ε=1). Чтобы найти силу, проинтегрируем выражение:

Подставляем значения и получаем:

Ответ: 1,5∙10-3Н

За скорой помощью в решении задач разной сложности обращайтесь к специалистам студенческого сервиса.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *